Sommes et produits
Ce chapitre a pour objectif d'introduire les notations compactes $\sum$ et $\prod$, ainsi que les principales règles de calcul permettant de manipuler les sommes et les produits.
Ce chapitre a pour objectif d'introduire les notations compactes $\sum$ et $\prod$, ainsi que les principales règles de calcul permettant de manipuler les sommes et les produits.
I) Sommes
A - Notation $\sum$
Soient $m,n \in \N$ tels que $m \leq n$ et $a_m,\dots,a_n \in \R$. La somme des $a_i$, où $i$ décrit $\Intn{m}{n}$, peut s'écrire in extenso : $$ a_m+a_{m+1}+\dots+a_n. $$ Cette écriture permet de visualiser immédiatement les termes de la somme. En revanche, elle devient rapidement encombrante dès que l'on effectue des calculs sur les sommes : les expressions sont alors moins lisibles et plus propices aux erreurs. On introduit donc la notation compacte suivante : $$ \Sum{k=m}{n} a_k = a_m+a_{m+1} + \dots + a_n. $$ Par exemple, $$\begin{align*} \Sum{k=1}{n} \f{1}{k} = 1+\f{1}{2} + \dots + \f{1}{n} \qetq \Sum{k=3}{2n} \sqrt{k} = \sqrt{3} + \dots + \sqrt{2n}. \end{align*}$$ Un cas particulier important est celui où tous les termes de la somme sont égaux.
L'entier $k$ est appelé indice de sommation. Il est muet, c'est-à-dire qu'il n'a de signification qu'à l'intérieur de la somme. Son nom n'a donc aucune importance et il peut être remplacé par n'importe quelle autre lettre, à condition de ne pas créer de confusion avec une variable déjà utilisée. Ainsi, $$ \Sum{k=m}{n} a_k = \Sum{i=m}{n} a_i = \Sum{j=m}{n} a_j. $$ Une fois la somme évaluée, l'indice n'existe plus et la même lettre peut être réutilisée dans un autre contexte. Ainsi, les expressions $$ \Sum{k=1}{n} a_k+\Sum{k=1}{n} b_k \qetq \pa{\Sum{k=1}{n} a_k}\times\pa{\Sum{k=1}{m} b_k} $$ sont valides, car les deux indices de sommation sont indépendants. En revanche, les écritures : $$ \Sum{k=1}{n} a_k = k \qetq \forall k \in \N, \quad \Sum{k=1}{n} a_k\geq 0 $$ n'ont pas de sens. Dans la première expression, la variable $k$ n'est définie qu'à l'intérieur de la somme. Dans la seconde, le quantificateur porte sur une variable qui est déjà liée par la somme.
Plus généralement, pour toute famille $(a_i)_{i \in I}$ de réels indexée par un ensemble fini $I$, la somme des $a_i$, $i$ décrivant $I$ est notée $\sum_{i\in I} a_i$. Par exemple, $$ \sum_{i \in \{1,3,7\}} a_i = a_1 + a_3 + a_7, \quad \text{et, par \Emph{convention des sommes vides}, } \quad \sum_{i \in \emptyset} a_i = 0. $$ Cette convention est naturelle : sommer aucun terme revient à ne rien ajouter, ce qui laisse la valeur initiale inchangée. Elle intervient régulièrement dans les manipulations de sommes. Par exemple, $$ \Sum{k=1}{0} k^2 = 0. $$
Il est souvent utile de sommer uniquement les termes dont les indices vérifient une certaine propriété. Si $I=\Set*{i\in\Intn{1}{n}}{2\mid i},$ alors la somme des $a_i$ pour $i$ décrivant $I$ peut également s'écrire $$ \sum_{\substack{i=1\\ 2 \mid i}}^n a_i, \quad \text{ou encore,} \quad \sum_{\substack{i=1\\ i\text{ pair}}}^n a_i. $$
La forme in extenso pourra être utilisée pour développer l'intuition, mais les calculs rigoureux se feront désormais à l'aide du symbole $\sum$. Entraînez-vous donc dès à présent à le manipuler !
B - Premières propriétés des sommes
La proposition suivante découle directement des propriétés usuelles de l'addition et de la multiplication dans $\R$.
Pour toutes familles de réels $(a_i)_{1\leq i\leq n}$ et $(b_i)_{1\leq i\leq n}$ et tous $\lambda,\mu\in\R$,
- (Additivité) $$ \sum_{i=1}^{n}(a_i+b_i) = \sum_{i=1}^{n}a_i + \sum_{i=1}^{n}b_i. $$
- (Homogénéité) $$ \sum_{i=1}^{n}\lambda a_i = \lambda\sum_{i=1}^{n}a_i. $$
Ces deux propriétés se résument sous la forme suivante, appelée linéarité de la somme : $$ \sum_{i=1}^{n} (\lambda a_i+\mu b_i) = \lambda\sum_{i=1}^{n} a_i + \mu\sum_{i=1}^{n} b_i. $$
- Simple conséquence de la commutativité et de l'associativité de l'addition.
- Découle de la distributivité de la multiplication sur l'addition.
C - Simplifications téléscopiques
Les sommes de la forme $\Sum{i=m}{n} (a_{i+1} - a_i)$ sont dites télescopiques. On en rencontre souvent et elles sont l'avantage d'être très simples à simplfier :
$$\begin{align*} \Sum{i=m}{n} (a_{i+1} - a_i) &= (a_{m+1} - a_m) + (a_{m+2} - a_{m+1}) + \dots + (a_{n+1} - a_n) \\ &= -a_m + \underbrace{(a_{m+1} - a_{m+1})}_{=0} + \underbrace{(a_{m+2} - a_{m+2})}_{=0} + \dots + \underbrace{(a_n - a_n)}_{=0} + a_{n+1} \\ &= a_{n+1} - a_m. \end{align*}$$
On fixe $m \in \N$. Montrons, par récurrence sur $n\geq m$, que $$ \Sum{i=m}{n} (a_{i+1}-a_i)=a_{n+1}-a_m. $$
- Initialisation : Pour $n=m$, $$ \Sum{i=m}{m}(a_{i+1}-a_i)=a_{m+1}-a_m, $$ Hérédité : Soit $n\geq m$ et supposons que $$ \Sum{i=m}{n}(a_{i+1}-a_i)=a_{n+1}-a_m. $$ Alors, $$\begin{align*} \Sum{i=m}{n+1}(a_{i+1}-a_i) &=\Sum{i=m}{n}(a_{i+1}-a_i)+(a_{n+2}-a_{n+1})\\ &\underset{\text{HDR}}{=} (a_{n+1}-a_m)+(a_{n+2}-a_{n+1})\\ &=a_{n+2}-a_m. \end{align*}$$
Par le principe de récurrence, le résultat est démontré pour tout $n\geq m$.
Pour tout $n \in \N$,
$$ \Sum{k=1}{n} \ln\pa{1+\f{1}{k}} = \Sum{i=1}{n} \big(\ln(k+1) - \ln{k}\big) = \ln(n+1) - \ln(1) = \ln(n+1). $$
$$ \Sum{k=1}{n} \f{1}{k(k+1)} = 1 - \f{1}{n+1} $$
À ce stade, notre principal outil pour calculer une somme est de la transformer en une somme télescopique. Nous cherchons donc à écrire $$ \frac{1}{k(k+1)} $$ comme la différence de deux termes consécutifs.
Le dénominateur $k(k+1)$ est celui que l'on obtiendrait en mettant au même dénominateur deux fractions de dénominateurs $k$ et $k+1$. On raisonne alors par analyse-synthèse.
- Analyse : Supposons qu'il existe deux constantes $A,B\in\R$ telles que, pour tout entier $k\geq 1$, $$ \frac{1}{k(k+1)}=\frac{A}{k}+\frac{B}{k+1}. $$ Alors, en mettant au même dénominateur, pour tout entier $k\geq 1$, $$ 1=A(k+1)+Bk = (A+B)k + A. $$ Le membre de gauche est constant donc celui de droit aussi, il vient alors $A+B = 0$. Aussitôt, $A = 1$ et $B = -1$. Synthèse : Vérifions que ce choix convient. Pour tout entier $k\geq 1$, $$ \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} = \frac{k+1-k}{k(k+1)} = \frac{1}{k(k+1)}. $$
ce qui fait apparaître une somme télescopique. D'où le résultat.
$$ \Sum{k=1}{n} \pa{\f{1}{k} - \f{1}{k+1}} $$
D - Changement d'indice
Pour écrire une somme à l'aide du symbole $\sum$, il faut identifier une règle décrivant les termes à sommer. Par exemple, la somme $$ \frac13+\frac14+\cdots+\frac1n $$ peut naturellement s'écrire $$ \sum_{i=3}^{n}\frac1i. $$ Cependant, on peut tout aussi bien choisir de numéroter les termes à partir de $0$. La même somme s'écrit alors $$ \frac{1}{3+0}+\frac{1}{3+1}+\cdots+\frac{1}{3+(n-3)} = \sum_{j=0}^{n-3}\frac{1}{3+j}. $$ Les deux écritures décrivent exactement les mêmes termes : seule la façon de les indexer change. Le fait de passer d'une écriture à l'autre s'appelle un changement d'indice. Dans cet exemple, le changement d'indice consiste à poser $j = i - 3$.
Plus généralement, effectuer un changement d'indice consiste à remplacer l'indice de sommation par une nouvel indice, en adaptant les bornes de sorte que les mêmes termes soient parcourus une fois et une seule.
Par exemple, en posant $j=i-3,$ on obtient $$ \begin{array}{c@{\hspace{14mm}}c} \displaystyle \sum_{i=3}^{n} a_i = \sum_{j=0}^{n-3} a_{j+3} & {\color{Blue} \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline i & 3 & 4 & \cdots & n-1 & n\\ \hline j & 0 & 1 & \cdots & n-4 & n-3\\ \hline \end{array} } \end{array} $$
Il est également possible de parcourir les termes dans l'ordre inverse. Ainsi, en posant $j=n-i,$ on obtient $$ \begin{array}{c@{\hspace{14mm}}c} \displaystyle \sum_{i=0}^{n} a_i = \sum_{j=0}^{n} a_{n-j} & {\color{Blue} \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline i & 0 & 1 & \cdots & n-1 & n\\ \hline j & n & n-1 & \cdots & 1 & 0\\ \hline \end{array} } \end{array} $$
Le changement d'indice est un outil particulièrement utile pour effectuer des calculs. Nous en donnons une première application en proposant une nouvelle preuve de la propriété de simplification télescopique.
[Démonstration de la simplification télescopique] $$\begin{align*} \Sum{i=m}{n}(a_{i+1}-a_i) &= \Sum{i=m}{n}a_{i+1} - \Sum{i=m}{n}a_i &&\text{(linéarité)}\\ &= \Sum{i=m+1}{n+1}a_i - \Sum{i=m}{n}a_i &&\text{(changement d'indice $j = i+1$)}\\ &= \Sum{i=m}{n}a_i - \Sum{i=m}{n}a_i + a_{n+1} - a_m \\ &= a_{n+1}-a_m. \end{align*}$$
E - Sommes usuelles
Certaines sommes reviennent si souvent qu'il est indispensable de connaître leur valeur par cœur : c'est le cas des sommes des premiers entiers, de la somme de leurs carrés, ou encore des sommes géométriques.
Soit $n \in \N$ et posons $S = \sum_{k=0}^n k$. Sommons de deux façons différentes les nombres de ce tableau :
On obtient alors $2S = n(n+1)$, d'où le résultat.
Le raisonnement précédent se traduit naturellement à l'aide du changement d'indice $i = n-k$: $$ 2S = \sum_{k=0}^{n}k+\sum_{k=0}^{n}k = \sum_{k=0}^{n}k+\sum_{i=0}^{n}(n-i) = \sum_{i=0}^{n}i+\sum_{i=0}^{n}(n-i) = \sum_{i=0}^{n}n = n(n+1). $$ Par conséquent, $$ S=\frac{n(n+1)}2. $$
Avec la même démonstration, on peut plus généralement aussi calculer la somme des termes d'une suite arithmétique.
| Soit $(u_k)_{k\in\N}$ une suite arithmétique de premier terme $u_0 \in \R$. Pour tout $n\in\mathbb N$, |  |
En pratique, on peut aussi rapidement retrouver la formule en réutilisant la somme des entiers consécutifs.
Notons $r \in \R$ la raison de $(u_k)_{k \in \N}$. Par linéarité de la somme, $$ \Sum{k=0}{n}u_k =\Sum{k=0}{n}(u_0+kr) =(n+1)u_0+r\Sum{k=0}{n}k = (n+1)\pa{u_ 0 + \f{rn}{2}}. =\f{(n+1)}{2}\pa{u_0 + (u_0 + rn)}. $$
On dipose également d'une formule pour la somme des carrés consécutifs.
$$ \sum_{k=0}^{n} \pa{(k+1)^3 - k^3} = (n+1)^3. $$ Pour le membre de droite, on obtient :
$$\begin{align*} \sum_{k=0}^{n} \pa{3k^2 + 3k + 1} &= 3 \sum_{k=0}^{n} k^2 + 3 \sum_{k=0}^{n} k + \sum_{k=0}^{n} 1 \\ &= 3 \sum_{k=0}^{n} k^2 + \f{3n(n+1)}{2} + (n+1). \end{align*}$$
On a donc :
$$\begin{align*} 3 \sum_{k=0}^n k^2 &= (n+1)^3 - \f{3n(n+1)}{2} - (n+1) \\ &= \f{n+1}{2}\pa{2(n+1)^2 - 3n - 2} \\ &= \f{n+1}{2}\pa{2 n^2 + n} \\ &= \f{n(n+1)(2n+1)}{2}, \end{align*}$$ ce qui donne le résultat voulu.
On s'intéresse maintenant à la somme des termes d'une suite géométrique.
| Soit $x \in \R$. Pour tous $m,n\in\N$ tels que $m\leq n$, |  |
Si $x = 1$, alors : $\Sum{k=m}{n} x^k = \Sum{k=m}{n} 1 = n-m+1$.
Sinon, on a : $$\begin{align*} (x-1) \Sum{k=m}{n} x^k &= \Sum{k=m}{n}\pa{x^{k+1} - x^k} \\ &= x^{n+1} - x^m \qquad \text{ (par simplification telescopique)} \\ &= x^m\pa{x^{n-m+1} -1}, \end{align*}$$ ce qui conclut.
La formule $a^n - b^n$ suivante généralise l'identité remarquable $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ et généralise aussi la formule des sommes géométriques.
Pour tout $n \in \N$ et $a,b \in \R$, $$ a^n - b^n = (a-b) \sum_{k=0}^{n-1} a^kb^{n-k-1}. $$
On a, par simplification telescopique :
$$ (a-b) \sum_{k=0}^{n-1} a^kb^{n-k-1} = \sum_{k=0}^{n-1} \pa{a^{k+1}b^{n-(k+1)} - a^kb^{n-k}} = a^{n}b^0 - a^0b^{n} = a^n - b^n. $$
II) Sommes doubles et sommation par paquets
A - Sommes doubles
On considère à présent des sommes dont les indices sont des couples. Elles apparaissent naturellement, par exemple, lors du développement d'un produit de sommes : $$\begin{align*} \pa{\sum_{i=1}^{m}a_i} \pa{\sum_{j=1}^{n}b_j} &= \pa{a_1+\cdots+a_m}\pa{b_1+\cdots+b_n} \\ &= a_1b_1+a_1b_2+\cdots+a_mb_{n-1}+a_mb_n \\ &= \sum_{(i,j)\in\Intn{1}{m}\times\Intn{1}{n}} a_i b_j = \sum_{\substack{1\leq i\leq m\\1\leq j\leq n}} a_i b_j. \end{align*}$$
Dans ce cas, sommer les $c_{ij} = a_ib_j$ sur $I = \Intn{1}{m}\times\Intn{1}{n}$ revient à sommer les termes d'un tableau à double entrée.
On peut également vouloir sommer uniquement les coefficients situés dans le triangle supérieur (respectivement strictement supérieur) d'un tableau à double entrée. Qu'il s'agisse d'un rectangle ou d'un triangle, on peut alors effectuer la somme ligne par ligne, puis sommer les résultats obtenus, ou procéder de manière analogue colonne par colonne.
Pour toute famille de complexes $(a_{ij})_{1 \leq i,j \leq n}$,
- $$ \sum_{1 \leq i,j \leq n} a_{ij} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} = \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^n a_{ij} $$
- $$ \sum_{1 \leq i \leq j \leq n} a_{ij} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=i}^n a_{ij} = \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^j a_{ij} $$
- $$ \sum_{1 \leq i < j \leq n} a_{ij} = \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^n a_{ij} = \sum_{j=2}^n \sum_{i=1}^{j-1} a_{ij} $$
Lorsqu'on calcule une double somme et qu'on ne sait pas quoi faire, on permute les sommes !
Pour tout $n \in \N$, $$ \sum_{i=1}^n \sum_{j=i}^n \f{1}{j} = \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^j \f{1}{j} = \sum_{j=1}^n 1 = n. $$
[Corrigé] La première égalité est une permutation de sommes (deuxième point de la proposition précédente), appliquée à $a_{ij} = \f 1j$. Ensuite, pour $j$ fixé, le terme $\f 1j$ ne dépend pas de $i$, donc $\Sum{i=1}{j} \f 1j = j \times \f 1j = 1$. Il reste alors $\Sum{j=1}{n} 1 = n$.
En appliquant la formule du produit de deux sommes, on peut obtenir une formule pour le carré d'une somme, qui généralise les identités remarquables usuelles.
D'après la proposition du produit de sommes (appliquée à $b_i = a_i$), $$ \pa{\sum_{i = 1}^{n} a_i}^2 = \sum_{1\leq i,j \leq n} a_ia_j. $$ On sépare maintenant les couples $(i,j)$ avec $1 \leq i,j \leq n$ selon que $i = j$, $i < j$ ou $i > j$ (ces trois cas partitionnent l'ensemble des couples) : $$ \sum_{1\leq i,j \leq n} a_ia_j = \sum_{i=1}^n a_i^2 + \sum_{1 \leq i < j \leq n} a_ia_j + \sum_{1 \leq j < i \leq n} a_ia_j. $$ Les deux dernières sommes sont égales (par symétrie du produit $a_ia_j = a_ja_i$ et en échangeant les noms de $i$ et $j$), d'où le résultat.
Pour tous $a, b, c \in \R$, $$ (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \qqetqq (a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc). $$
B - Sommation par paquets
Soient $I, J$ deux ensembles finis, $(I_j)_{j \in J}$ une partition de $I$ et $(a_i)_{i\in I} \in \C^I$ une famille de complexes. On a $$ \sum_{i\in I} a_i = \sum_{j \in J} \sum_{i \in I_j} a_{j}. $$
----- Terminons cette sous-partie par une propriété très utile en pratique, qui permet de découper une somme en plusieurs morceaux disjoints (par exemple pour isoler les indices pairs des indices impairs, ou pour traiter séparément les premiers et les derniers termes).
Soient $A$ et $B$ deux ensembles et $(a_i)_{i\in A\cup B}$ une famille de réels.
Si $A$ et $B$ sont disjoints, alors $$ \sum_{i\in A\sqcup B} a_i = \sum_{i\in A} a_i + \sum_{i\in B} a_i. $$
Dans le cas général, $$ \sum_{i\in A\cup B} a_i = \sum_{i\in A} a_i + \sum_{i\in B} a_i - \sum_{i\in A\cap B} a_i. $$
Pour $n\in\N$, on peut regrouper les termes pairs et impairs de la somme $$ \sum_{k=0}^{2n}(-1)^k k = \sum_{k=0}^{n}2k - \sum_{k=0}^{n-1}(2k+1). $$
Comme $(I_j)_{j\in J}$ est une partition de $I$, tout élément $i \in I$ appartient à exactement un des $I_j$. Sommer $a_i$ pour $i$ parcourant $I$ revient donc à regrouper les termes selon le paquet $I_j$ auquel ils appartiennent, puis à sommer sur les paquets : chaque terme $a_i$ est compté une et une seule fois de chaque côté de l'égalité, ce qui donne la formule. Le cas particulier découle du cas général appliqué à la partition $I = A \sqcup B$ (avec $J = \{1,2\}$, $I_1 = A$, $I_2 = B$). Enfin, si $A$ et $B$ ne sont pas disjoints, on écrit $A \cup B = A \sqcup (B \setminus A)$ (union disjointe), d'où $\sum_{i \in A \cup B} a_i = \sum_{i\in A} a_i + \sum_{i \in B\setminus A} a_i$. Or $B = (B\setminus A) \sqcup (A \cap B)$, donc $\sum_{i \in B} a_i = \sum_{i \in B \setminus A} a_i + \sum_{i \in A \cap B} a_i$, c'est-à-dire $\sum_{i \in B \setminus A} a_i = \sum_{i \in B} a_i - \sum_{i \in A \cap B} a_i$. En substituant, on obtient la formule annoncée.
Pour tout $n \in \N$, $\displaystyle \sum_{i=0}^n (-1)^i i = \begin{cases}-\f{n+1}{2} &\text{ si $n$ est impair}\\ \f{n}{2} &\text{ sinon}\end{cases}$.
[Corrigé] Supposons $n$ impair et regroupons les termes deux par deux : $\Sum{i=0}{n}(-1)^i i = \Sum{k=0}{\f{n-1}{2}} \pac{(-1)^{2k}(2k) + (-1)^{2k+1}(2k+1)} = \Sum{k=0}{\f{n-1}{2}} (-1) = -\f{n+1}{2}$, car il y a $\f{n+1}{2}$ paquets. Si $n$ est pair, on procède de même en isolant le dernier terme $i=n$ (positif car $n$ pair) : $\Sum{i=0}{n} (-1)^i i = \Sum{i=0}{n-1} (-1)^i i + n = -\f n2 + n = \f n2$, en utilisant le résultat précédent avec $n-1$ impair.
[Corrigé] Les deux égalités sont des cas particuliers de la sommation par paquets. Pour la première, on partitionne $\Intn{0}{n+2}$ en $\{0\}$, $\Intn{1}{n}$, $\{n+1\}$ et $\{n+2\}$. Pour la seconde, on partitionne $\Intn{1}{n}$ selon la parité des indices.
Pour calculer une somme, on essaie d'utiliser les propriétés du cours et on essaie de se ramener aux sommes usuelles que l'on doit connaître par coeur.
III) Produits
A - Définition et propriétés des produits
On introduit à présent la notation $\prod$, analogue multiplicatif de la notation $\sum$. De même que la somme vide vaut $0$, le produit vide vaut $1$ : c'est l'élément neutre de la multiplication, cohérent avec l'idée que « multiplier » par rien ne doit rien changer.
Pour tout $n\in\N^*$, on appelle factorielle $n$ ou $n$ factorielle l'entier $ n! = \prod_{k=1}^{n} k = 1\times2\times\cdots\times n. $
$$ \frac{(n+2)!}{n!} = \frac{n!\times(n+1)(n+2)}{n!} = (n+1)(n+2). $$
Ces trois quantités sont distinctes et ne doivent pas être confondues : $$\begin{align*} (2n)! &= 1\times2\times3\times\cdots\times(2n-1)\times(2n),\\ 2\times n! &= 2\times1\times2\times\cdots\times(n-1)\times n,\\ 2^n\times n! &= 2\times4\times6\times\cdots\times(2n-2)\times(2n). \end{align*}$$
La proposition suivante découle directement des propriétés usuelles de la multiplication dans $\R$.
- Multiplication par un facteur constant. Pour tout $(a_i)_{1 \leq i \leq n} \in \C^n$ et $\alpha \in \C$, $$ \prod_{i=1}^n (\alpha a_i) = \alpha^n\prod_{i=1}^n a_i. $$
- Puissance d'un produit. Pour tout $(a_i)_{1 \leq i \leq n} \in \C^n$ et $k \in \N$, $$ \prod_{i=1}^n a_i^k = \pa{\prod_{i=1}^n a_i}^k. $$
- Produit d'un produit. Pour tous $(a_i)_{1 \leq i \leq n},(b_i)_{1 \leq i \leq n} \in \C^n$, $$ \prod_{i=1}^n (a_i b_i) = \pa{\prod_{i=1}^n a_i} \pa{\prod_{i=1}^n b_i}. $$
De manière analogue aux sommes, les produits peuvent se simplifier par télescopage, en utilisant des divisions plutôt que des différences.
De la même façon que pour les sommes doubles, un produit portant sur deux indices se calcule en imbriquant deux produits simples, dans l'ordre de son choix.
Pour toute famille de réels $(a_{ij})_{1 \leq i,j \leq n}$,
- $$ \prod_{1 \leq i,j \leq n} a_{ij} = \prod_{i=1}^n \prod_{j=1}^n a_{ij} = \prod_{j=1}^n \prod_{i=1}^n a_{ij} $$
- $$ \prod_{1 \leq i \leq j \leq n} a_{ij} = \prod_{i=1}^n \prod_{j=i}^n a_{ij} = \prod_{j=1}^n \prod_{i=1}^j a_{ij} $$
- $$ \prod_{1 \leq i < j \leq n} a_{ij} = \prod_{i=1}^{n-1} \prod_{j=i+1}^n a_{ij} = \prod_{j=2}^n \prod_{i=1}^{j-1} a_{ij} $$
$$ \prod_{j=1}^{n}\prod_{i=j}^{n}\frac{j+1}{j} = \prod_{i=1}^{n}\prod_{j=1}^{i}\frac{j+1}{j} = \prod_{i=1}^{n}(i+1) = (n+1)!. $$
On sait généralement mieux manipuler les sommes que les produits, notamment par habitude. Le logarithme fournit toutefois un moyen de transformer les produits en sommes.
Pour des réels strictement positifs $a_1,\ldots,a_n$, on a $$ \ln\left(\prod_{k=1}^{n}a_k\right) = \sum_{k=1}^{n}\ln(a_k). $$
Pour tout réel $a$ et tout $n\in\N$, on a $$ \prod_{k=1}^{n}a^k = a^{\textstyle\sum_{k=1}^{n} k} = a^{\frac{n(n+1)}{2}}. $$
B - Coefficients binomiaux et binôme de Newton
On introduit maintenant les coefficients binomiaux. Ils permettent notamment de compter les sous-ensembles d'une taille donnée dans un ensemble fini. Ils apparaissent aussi dans le développement de $(a+b)^n$ avec la formule du binôme de Newton.
Soient $n \in \N$ et $k \in \Z$.
On appelle $\mathbf{k}$ parmi $\mathbf{n}$ et on note $\dbinom{n}{k}$ le nombre de parties de cardinal $k$ de l'ensemble $\Intn{1}{n}$. On a alors :
- Si $k < 0 \text{ ou } k > n$, $\dbinom{n}{k} = 0$.
- Si $k \in \Intn{0}{n}$, $\displaystyle \dbinom{n}{k} = \f{n!}{k!(n-k)!}$.
Plus généralement, $\binom{n}{k}$ est le nombre de parties de cardinal $k$ d'un ensemble de cardinal $n$, pas nécessairement de l'ensemble $\llbracket 1,n\rrbracket$.
Dans le chapitre dénombrement.
Les trois propriétés suivantes sont les relations de base à connaître sur les coefficients binomiaux ; elles permettent notamment de construire le triangle de Pascal.
Soient $n,k \in \N$.
- Symétrie : $\dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n-k}$.
- Formule de Pascal : $\dbinom{n}{k} + \dbinom{n}{k+1} = \dbinom{n+1}{k+1}$.
- Formule du capitaine : Si $n \geq 1$ : $ k\dbinom{n}{k} = n \dbinom{n-1}{k-1}$.
Dans le chapitre dénombrement.
On peut maintenant énoncer le résultat central de cette section : la formule du binôme de Newton, qui exprime $(a+b)^n$ comme une combinaison des puissances de $a$ et de $b$, pondérées par les coefficients binomiaux.
$$ \begin{aligned} (a+b)^2 &= a^2+2ab+b^2, &\qquad (a+b)^3 &= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3,\\ (a+b)^4 &= a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4, &\qquad (a+b)^5 &= a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5. \end{aligned} $$
Soient $a, b \in \R$. On procède par réccurence. Pour tout $n \in \N$, notons $P(n)$ la propriété :
$$ (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \dbinom{n}{k} a^k b^{n-k}. $$
- Initialisation : Pour $n = 0$, on a $$(a+b)^0 = 1 = \dbinom{0}{0}a^0b^0 = \sum_{k=0}^{0} \dbinom{n}{k} a^k b^{n-k}.$$ Hérédité : Soit $n \in \N$. Si $P(n)$ alors, $$\begin{align*} (a+b)^{n+1} &= (a+b)(a+b)^{n} \\ &= (a+b) \sum_{k=0}^{n} \dbinom{n}{k} a^k b^{n-k} \quad \text{ (par hypothèse de récurrence)} \\ &= \sum_{i=0}^{n} \dbinom{n}{i} a^{i+1} b^{n-i} + \sum_{k=0}^{n} \dbinom{n}{k} a^k b^{n-k+1} \\ &= \sum_{k=1}^{n+1} \dbinom{n}{k-1} a^{k} b^{n-k+1} + \sum_{k=0}^{n} \dbinom{n}{k} a^k b^{n-k+1} \quad \text{ (changement d'indice } k = i + 1) \\ &= \dbinom{n}{0} a^0b^{n-0+1} + \sum_{k=1}^{n} \pa{\dbinom{n}{k-1} + \dbinom{n}{k}} a^{k} b^{n-k+1} + \dbinom{n}{n} a^{n+1}b^{n-(n+1)+1} \\ &= \dbinom{n+1}{0} a^0b^{n+1-0} + \sum_{k=1}^{n} \dbinom{n+1}{k} a^{k} b^{n+1-k} + \dbinom{n+1}{n+1} a^{n+1} b^{n+1-(n+1)} \quad \text{ (formule de Pascal)} \\ &= \sum_{k=0}^{n+1} \dbinom{n+1}{k} a^{k} b^{n+1-k}. \end{align*}$$ D'où $P(n+1)$.
Par récurrence, on conclut que pour tout $n\in\N$, $\displaystyle (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \dbinom{n}{k} a^k b^{n-k}$.
$\Sum{k=0}{n} \dbinom{n}{k} = \Sum{k=0}{n} \dbinom{n}{k} 1^k1^{n-k} = (1+1)^n = 2^n$
$\Sum{k=0}{n} \dbinom{n}{k} (-1)^k = \Sum{k=0}{n} \dbinom{n}{k} (-1)^k1^{n-k} = (-1+1)^n = 0^n = \delta_{n,0} = \begin{cases} 1 &\text{ si } n = 0 \\ 0 &\text{ sinon} \end{cases}$.
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