Relations binaires et applications

On considère la fonction :

$$ f : \fun{\R}{\R}{x}{e^{-x^2}}. $$

1. 1. Montrer que $f$ est paire.
   2. Etudier $f$ et tracer l'allure de sa courbe représentative.
2. 1. $f$ est-elle injective ?
   2. $f$ est-elle surjective ?
3. 1. Déterminer $f(\Intfo{-1}{\pinf})$.
   2. Déterminer $f^{-1}(\Intff{1}{2})$.
4. On considère la fonction : $$ g : \fun{\R_+}{\Intof{0}{1}}{x}{e^{-x^2}}. $$ Montrer que $g$ est bijective et déterminer sa réciproque.
5. 1. Montrer que la composée $g^{-1} \circ f$ est bien définie.
   2. Montrer que $\forall x \in \R_+, g^{-1}\circ f(x) = x$.
   3. Soit $x \in \R_-^*$, calculer $g^{-1}\circ f(x)$.