Logique et ensembles

On tire $4$ cartes dans un jeu. Donner la négation des affirmations suivantes :

{2}

• Les quatres cartes sont rouges.
• Il y a au moins deux coeurs.
• Il n'y aucun pique ou que des piques.
• Il y a au moins un pique et un coeur.

Soit $f : \R \to \R$. Nier les assertions suivantes :

1. $\forall x \in \R$, $f(x) \ne 0$.
2. $\forall M > 0$, $\exists A > 0$, $\forall x \geq A, \quad f(x) > M$.
3. $\forall x \in \R$, $f(x) > 0 \then x \leq 0$.
4. $\forall \eps, \exists \eta > 0, \forall (x,y) \in I^2$, $\abs{x-y} \leq \eta \then \abs{f(x)-f(y)} \leq \eps$.

Traduire en français les propositions suivantes :

Soit $I$ un intervalle de $\R$ et $f : I \to \R$. Traduire en français les propositions suivantes et donner un exemple de fonction vérifiant chacune des propositions :

Soient $f$ et $g$ deux fonctions de $\R$ dans $\R$. Ecrire les propositions suivantes avec des quantificateurs :

Les phrases suivantes sont-elles équivalentes ?

1. «  $\forall x \in \R, (f(x) = 0 \text{ et } g(x) = 0)$  » et «  $(\forall x \in \R, f(x) = 0)$ et $(\forall x \in \R, g(x) = 0)$  »
2. «  $\forall x \in \R, (f(x) = 0 \text{ ou } g(x) = 0)$  » et «  $(\forall x \in \R, f(x) = 0)$ ou $(\forall x \in \R, g(x) = 0)$  »

Vrai ou faux ? Justifier. Donner également la négation.

{2}

• $\forall x \in \N, \quad x > 2 \then x \geq 3$.
• $\forall x,y \in \R^*, \quad x < y \then \f{1}{x} > \f{1}{y}$.
• $\exists x \in \R_+, \quad x < \sqrt{x}$.
• $\forall x,x' \in \R^*$, $x \ne x' \then \f{x+1}{x} \ne \f{x' + 1}{x'}$.
• $\forall N \in \N^*, \exists n \in \N^*, \quad \Sum{k=1}{n} \sqrt{k} \geq N$.
• $\forall x \in \R, \quad x^2+x \geq 0 \then x \geq 0$.

Déterminer les réels $x$ pour lesquels l'assertion suivante est vraie : $$ \forall y \in \Intff{0}{1}, \quad x \geq y \then x \geq 2y. $$

Soient $P, Q, R$ désignent trois propositions.

1. Démontrer les équivalences suivantes :
   1. $\pa{P \text{ et } (Q \text{ ou } R} \iff (P \text{ et } Q) \text{ ou } (P \text{ et } R )$.
   2. $\pa{P \text{ ou } (Q \text{ et } R} \iff (P \text{ ou } Q) \text{ et } (P \text{ ou } R )$.
2. Démontrer l'implication suivante : $\pac{(P \then Q) \text{ et } (Q \then R)} \then \pa{P \then R}$.

Écrire en langage mathématique l'ensemble :

1. des entiers naturels divisibles par $7$.
2. des sommes de deux carrés d'entiers.
3. des entiers relatifs qui possèdent un antécédent par la fonction $x \mapsto e^x + x$.

Soient $E$ un ensemble et $A,B,C \subset E$ Démontrer les propositions suivantes:

Soient $E$ un ensemble et $A,B,C \subset E$ Démontrer les propositions suivantes:

Soient $A$ et $B$ deux ensembles. Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.

Simplifier les ensembles $\bigcup_{n \in \N^*} \Intff{\f{1}{n}}{n}$ et $\bigcap_{n \in \N^*} \Intof{-\f{1}{n}}{1}$.

Montrer que, pour tout $x \geq 1$, $x^2 \geq x$.

Montrer que : $\forall \eps > 0, \exists n \in \N^*, \quad \f{1}{n} < \eps$.

Montrer qu'une fonction $f : \R \to \R$ est bornée si et seulement si elle est majorée et minorée.
Rappel : borné : $\exists K \in \R, \forall x \in \R, \quad \abs{f(x)} \leq K$   et   majoré : $\exists M \in \R, \forall x \in \R, \quad f(x) \leq M$.

Montrer que $n$ est pair si et seulement si $n^2$ est pair.

Montrer qu'une fonction $f : I \to \R$ possède au plus un maximum.

Soient $a,b \in \R$.

1. Montrer que si $a+b$ est irrationnel, alors $a$ ou $b$ est irrationnel.
2. La réciproque est-elle vraie ?

Soit $a \in \R$. Montrer que $(\forall \eps > 0, \: \abs{a} \leq \eps) \then a = 0$.

Démontrer que, pour tout $x \in \R$, $\abs{x -1} \leq x^2 - x +1$.

Montrer que pour tout $n \in \N$, $\f{n(n+1)}{2}$ est un entier naturel.

Soient $x,y \in \R$. Montrer que $\max(x,y) = \f{x+y+\abs{x-y}}{2}$.

On rappelle que $\sqrt{2}$ est un nombre irrationnel.

1. Démontrer que si $a$ et $b$ sont deux entiers relatifs tels que $a + b \sqrt{2} = 0$, alors $a = b = 0$.
2. En déduire que si $m,n,p,q \in \Z$, alors : $$ m+n\sqrt{2} = p + q\sqrt{2} \qiffq m = p \text{ et } n = q. $$

On définit $(u_n)_{n \in \N}$ par $u_0 = 1$ et $\forall n \in \N, \quad u_{n+1} = u_n + \f{1}{u_n}$. Montrer que $\lim_{n \to \pinf} u_n = \pinf$.

Trouver l'unique fonction strictement croissante $f : \Intff{0}{1} \to \Intff{0}{1}$ telle que

$$ \forall x \in \Intff{0}{1}, \quad f(f(x)) = x. $$

Montrer que pour tout $n \in \N$ : $0 + 1 + 2 + \dots + n = \f{n(n+1)}{2}$.

Démontrer que, pour tout $n \in \N^*$, on a $2^{n-1} \leq n! \leq n^n$.

Pour $n \in \N$, on considère la propriété suivante : $P_n : 2^n > n^2$.

1. Montrer que l'implication $P_n \then P_{n+1}$ est vraie pour $n \geq 3$.
2. Montrer par récurrence que la propriété $P_n$ est vraie à partir d'un certain rang que vous déterminerez.

On note $f_0$ la fonction constante égale à $1$ et, pour tout $x \in \R$ et $n \in \N$ : $f_{n+1}(x) = (x+1)f_n(x+1)$. Montrer que $f_n(x) = (x+1)\dots(x+n)$ pour tous $x \in \R$ et $n \in \N$.

1. On note $(u_n)_{n\in\N}$ la suite définie par $u_0 = 0$, $u_1 = 1$ et $u_{n+2} = 5u_{n+1} - 6u_n$ pour tout $n \in \N$. Montrer que $u_n = 3^n - 2^n$ pour tout $n \in \N$.
2. On note $(u_n)_{n\in\N}$ la suite définie par $u_0 = 0$, $u_1 = 0$, $u_2 = 2$ et $u_{n+3} = 3u_{n+2}- 3u_{n+1} + u_n$ pour tout $n \in \N$. Montrer que $u_n = n(n-1)$ pour tout $n \in \N$.

Déterminer le terme général de la suite $(u_n)_{n\in \N}$ définie par $u_0 = 1$ et $\forall n \in \N, \quad u_{n+1} = \f{1}{n+1}\pa{u_0 + u_1 + \dots + u_n}$.

On note $f_0$ la fonction constante égale à $1$ et, pour tout $x \in \R$ et $n \in \N$ : $f_{n+1}(x) = (x+1)f_n(x+1)$. Montrer que $f_n(x) = (x+1)\dots(x+n)$ pour tous $x \in \R$ et $n \in \N$.

Montrer par récurrence force que tout $n \in \N^*$ peut s'écrire sous la forme $n = 2^p(2q+1)$ avec $p,q \in \N$.

Démontrer que tout entier $n \geq 1$ peut s'écrire comme somme de puissances de $2$ toutes distinctes.

Déterminer le terme général de la suite $(u_n)_{n\in \N}$ définie par $u_0 = 1$ et $\forall n \in \N, \quad u_{n+1} = \f{1}{n+1}\pa{u_0 + u_1 + \dots + u_n}$.

Montrer par récurrence forte que tout $n \in \N^*$ peut s'écrire sous la forme $n = 2^p(2q+1)$ avec $p,q \in \N$.

Démontrer que tout entier $n \geq 1$ peut s'écrire comme somme de puissances de $2$ toutes distinctes.

Soit $x$ un réel non nul tel que $x + \f{1}{x}$ soit entier.

1. Montrer que pour tout $n \in \N$ : $x^n + \f{1}{x^n} \in \Z$.
2. Trouver un exemple de réel $x$ non trivial vérifiant la propriété.

Déterminer les réels $x$ tels que $\sqrt{2-x} = x$.

Montrer qu'il existe $a,b,c \in \R$ tel que pour tout $x \in \R \but \{0,-1\}$ : $ \f{1}{x^2(x+1)} = \f{a}{x} + \f{b}{x^2} + \f{c}{x+1}. $

On souhaite déterminer toutes les fonctions $f : \R \to \R$ telles que : $\forall x \in \R, \quad f(x) + x f(1-x) = 1+x.$

1. On considère une telle fonction, que valent $f(0)$ et $f(1)$ ?
2. Soit $x \in \R$. En substituant $x$ par $1-x$ dans la relation, déterminer $f(x)$.
3. Quelles sont les fonctions solution du problème ?

Déterminer toutes les fonctions $f : \R \to \R$ telles que, pour tous $x,y \in \R$, $$ f(x)f(y) - f(xy) = x+y. $$

Déterminer par analyse-synthèse toutes les fonctions $f : \R \to \R$ dérivables telles que

$$ \forall x,y \in \R, \quad f(x+y) = f(x) + f(y). $$

Montrer par analyse-synthèse que toute fonction de $\R$ dans $\R$ est la somme d'une et unique manière, d'une fonction paire et d'une fonction impaire.